시계열 통계모델 2 [이론] - ARCH / GARCH 모형

해당 포스팅은 "실전 시계열 분석" 교재와 실습코드 / 고려대학교 DMQA 강의와 강의자료 / K-Mooc 전치혁 교수님 강의를 기반으로 작성되었습니다.

 

https://www.youtube.com/watch?v=ma_L2YRWMHI&list=PLpIPLT0Pf7IqSuMx237SHRdLd5ZA4AQwd&index=9 

 

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시계열분석 기법과 응용

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1. ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)

 

1-1. ARCH 개념

 

 지금까지의 시계열 모형에서는 오차항은 일정한 분산을 갖는 독립적인 백색잡음으로 가정하였다.

 

하지만 금융 관련 시계열에서의 잔차는 백색잡음처럼 보이기는 잔차의 절대값 또는 제곱값은 자기 상관관계를 갖는 경우가 대부분이다.

 

또한, 오차항의 분산이 시간에 따라 일정하지 않고 변한다는 관측도 있다.

 

특히 재무 상품에서는 변동성 분석이 중요한데 많은 분석이 이 경우에 해당한다.

 

따라서 오차항의 조건부 분산에 대한 모형을 고려해야 하는데 이를 위한 대표적인 모형이 ARCH이며 이후 다룰 GARCH는 ARCH의 일반화 형태이다.

 

ARCH 모형을 표현하면 다음과 같다.

 

• 다음의 시계열 AR(1)
  • $Z_{t}$ = $\phi Z_{t-1} + u_{t}$
  • 이 때 오차항의 기대치 $E[u_{t}]$ = 0, 분산은 $Var[u_{t}]$ = $\sigma_{u}^{2}$
• 오차항이 서로 독립이 아니고 제곱오차항이 AR(q)의 모형을 따른다고 가정
  • $u_{t}^{2}$ = $\alpha_{0}$ + $\alpha_{1} u_{t-1}^{2}$ + $\cdots$ + $\alpha_{q} u_{t-q}^{2}$ + $w_{t}$ ($w_{t}$는 백색 잡음)
• 오차항의 조건부 분산
  • $\alpha_{t}^{2}$ = $Var[u_{t} | u_{t-1}, \cdots]$ = $E[u_{t}^{2} | u_{t-1}, \cdots]$ = $\alpha_{0} + \alpha_{1} u_{t-1}^{2} + \cdots + \alpha_{q} u_{t-q}^{2}$

 

위의 오차항의 조건부 분산 형태를 ARCH(q) 모형이라 한다.

 

 

1-2. ARCH 정상성 조건

 

 ARCH 모형의 정상성 조건은 다음과 같다.

 

• 오차항의 조건없는 분산 unconditional variance 는 시간에 따라 일정 (상수)
  • $Var[u_{t}]$ = $E[u_{t}^{2}]$ = $\sigma_{u}^{2}$
• 오차항의 조건부 분산 $\sigma_{t}^{2}$은 확률 변수이고 시간에 따라 변화
  • $\sigma_{t}^{2}$ = $\alpha_{0}$ + $\alpha_{1} u_{t-1}^{2}$ + $\cdots$ + $\alpha_{q} u_{t-q}^{2}$
• 오차항의 조건부 분산과 조건없는 분산은 다음의 관계를 가짐
  • $Var[u_{t}]$ = $\sigma_{u}^{2}$ = $E[\sigma_{t}^{2}]$ = $E[\alpha_{0} + \alpha_{1}u_{t-1}^{2} + \cdots + \alpha_{q}u_{t-q}^{2}]$
• ARCH 모형이 정상적일 때 다음이 성립
  • $\sigma_{u}^{2}$ = $\frac{\alpha_{0}}{1-\alpha_{1}-\cdots-\alpha_{q}}$
  • 따라서 $\alpha_{1} + \cdots + \alpha_{q} < 1$

 

1-3. 평균 방정식과 분산 방정식

 

 위에서 정의한 ARCH 모형은 오차항의 분산에 대한 것으로 분산 방정식이라고 한다.

 

그리고 기존에 다룬 AR이나 MA 모형을 평균방정식이라 한다.

 

다음과 같은 예시가 있다.

 

 

(예 1)은 조건부 분산이 AR(1)을 (예2)는 MA(1), (예3)은 회귀모형을 따른다.

 

 여기서 ARCH-M (ARCH in mean) 모형도 자주 사용된다.

 

이는 평균방정식에 조건부 분산을 포함시킨 모형이다.

 

 평균방정식이 회귀 모형인 경우 ARCH-M의 형태는 다음과 같다.

 

• 평균방정식 : $Y_{t}$ = $\beta_{0}$ + $\beta_{1}X_{1}$ + $\gamma g(\sigma_{t}^{2})$ + $u_{t}$
  
  
• 분산방정식 : $\sigma_{t}^{2}$ = $\alpha_{0}$ + $\alpha_{1} u_{t-1}^{2}$ + $\cdots$ + $\alpha_{q} u_{t-q}^{2}$
  
  
• 여기서 $g(\sigma_{t}^{2})$는 $\sigma_{t}^{2}$ 또는 $\sigma_{t}$, $ln(\sigma_{t}^{2})$ 등 여러가지 형태를 사용할 수 있다.

 

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2. GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)

 

2-1. GARCH 개념

 GARCH 모형은 ARCH 모형을 일반화, 확장한 모형이다. 

 

GARCH는 조건부 분산항에 과거 시차의 조건부 분산항들이 추가된 것으로 형태는 다음과 같다.

 

• $\sigma_{t}^{2}$ = $\alpha_{0}$ + $\alpha_{1} u_{t-1}^{2}$ +$\cdots$ + $\alpha_{q} u_{t-q}^{2}$ + $\beta_{1} \sigma_{t-1}^{2}$ + $\cdots$ + $\beta_{p} \sigma_{t-p}^{2}$
• 이런 오차항을 GARCH(p,q) 모형이라 함
• $\alpha$는 ARCH항, $\beta$는 GARCH 항이라고 함.
• ARCH 모형은 제곱오차항이 AR 모형을 따르고 GARCH 모형은 제곱오차항이 ARMA 모형을 따르게 된다.

 

2-2. GARCH 정상성 조건

 

GARCH의 정상성 조건도 ARCH와 유사하다.

 

• 오차항의 조건없는 분산 unconditional variance 는 시간에 따라 일정 (상수)
  • $Var[u_{t}]$ = $E[u_{t}^{2}]$ = $\sigma_{u}^{2}$
    
    
• GARCH 모형이 정상적일 때 다음이 성립
  • $\sigma_{u}^{2}$ = $\frac{\alpha_{0}}{1-\alpha_{1}-\cdots-\alpha_{q} - \beta_{1} - \cdots - \beta_{p}}$
    
    
  • 따라서 $\sum_{i=1}^{q}{\alpha_{i}}$+ $\sum_{i=1}^{p}{\beta_{i}}$ < 1

 

2-3. GARCH 모형 예측

 

 예측 과정을 알아보기 위해 평균방정식은 상수와 오차항 만으로 이루어진 수평적 모형을, 분산 방정식 또한 오차항의 조건부 분산이 GARCH(1,1)을 따른다고 가정해보면 다음과 같다.

 

• 평균방정식 : $Y_{t}$ = $c + u_{t}$
  
  
• 분산방정식 : $\sigma_{t}^{2}$ = $\alpha_{0}$ + $\alpha_{1} u_{t-1}^{2}$ + $\beta_{1} \sigma_{t-1}^{2}$
  
  
• 시계열 예측 : $f_{T,k}$ = $E[Y_{T+k}|Y_{T}, \cdots] = c$ ($k = 1, 2, \cdots$)
  
  
• 시계열 예측 오차 분산
  • $V_{T,1}$ = $Var[Y_{T+1}|Y_{T}, \cdots]$ = $Var[u_{T+1}|Y_{T}, \cdots]$ = $E[\sigma_{T+1}^{2}|Y_{T}, \cdots]$
    
    
  • $V_{T,k}$ = $Var[Y_{T+k}|Y_{T}, \cdots]$ = $Var[u_{T+k}|Y_{T}, \cdots]$ = $E[\sigma_{T+k}^{2}|Y_{T}, \cdots]$
• 조건부 분산(변동성) 예측
  • 한 단계 이후 : $h_{T,1}$ = $E[\sigma_{T+1}^{2}|Y_{T}, \cdots]$ = $E[\alpha_{0} + \alpha_{1} u_{T}^{2} + \beta_{1} \sigma_{T}^{2}|Y_{T}, \cdots]$ =$ \alpha_{0} + \alpha_{1} u_{T}^{2} + \beta_{1} \sigma_{T}^{2}$
    
    
  • 두 단계 이후 : $h_{T,2}$ = $E[\sigma_{T+2}^{2}|Y_{T}, \cdots]$ =  $E[\alpha_{0} + \alpha_{1} u_{T+1}^{2} + \beta_{1} \sigma_{T+1}^{2}|Y_{T}, \cdots]$= $\alpha_{0} + (\alpha_{1} + \beta_{1})h_{T,1}$

 

 

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Ref

• http://www.kmooc.kr/courses/course-v1:POSTECHk+IMEN677+2021_T2/about
• Oreilly "실전시계열 분석" 6장
• https://zephyrus1111.tistory.com/169
• https://www.youtube.com/watch?v=ma_L2YRWMHI&list=PLpIPLT0Pf7IqSuMx237SHRdLd5ZA4AQwd&index=9