시계열 모델링 - 지수 평활법

 

"금융 파이썬 쿡북 Ch3. 시계열 모델링 "의 내용을 기반으로 작성하였습니다. (실습 깃헙)

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1. 지수 평활법 (Exponential Smoothing)

 

 지수 평활법은 비정상 데이터(trend, seasonality를 띄는 데이터)에 사용하며 예측은 과거 관측값의 가중 평균을 사용한다는 점에서 지수 이동 평균과 유사하게 작동한다.

 

 이 모델은 시간이 지나면서 가중치가 기하급수적으로 작아짐에 따라 최근 관측에 더 중점을 둔다.

이번 포스팅에서는 단순 지수 평활과 홀트 모델과 그 확장 모델에 대해 다뤄보겠다.

 

1-2. 단순 지수 평활 (SES, SImple Exponential Smoothing)

 

 지수 평활의 가장 기본적인 모델이다. 이 모델은 고려 중인 시계열이 trend나 seasonality를 띄지 않을 경우와 데이터가 얼마 없는 시계열의 경우에 잘 작동한다.

 

 이 모델은 아래 수식돠 같이 0과 1 사이의 값을 갖는 smoothing 매개 변수 alpha로 매개 변수화된다. 이 alpha의 값이 클수록 최근 관측값에 더 많은 가중치가 적용된다.

 

• alpha = 0 : 미래 예측은 과거 데이터의 평균과 같음
• alpha = 1 : 모든 예측은 훈련 데이터의 마지막 관측값과 동일한 값을 가짐
• 예측함수는 수평선이다 = 시간의 범위와 관계 없이 모든 예측 기간에 대해 1개의 값(=마지막 level 값)을 가짐
• 따라서 trend나 seasonality가 없는 시계열에만 적합함.

https://aiemag.tistory.com/260

 

 구글 주가 데이터를 통해 예측하는 과정까지 구현해보자.

 

!pip install yfinance

import matplotlib.pyplot as plt
import warnings

plt.style.use('seaborn')
# plt.style.use('seaborn-colorblind') #alternative
#plt.rcParams['figure.figsize'] = [4, 2.5]
#plt.rcParams['figure.dpi'] = 100
warnings.simplefilter(action='ignore', category=FutureWarning)

import seaborn as sns 

plt.set_cmap('cubehelix')
sns.set_palette('cubehelix')

COLORS = [plt.cm.cubehelix(x) for x in [0.1, 0.3, 0.5, 0.7]]

import pandas as pd
import numpy as np
import yfinance as yf
from datetime import date
from statsmodels.tsa.holtwinters import (ExponentialSmoothing, 
                                         SimpleExpSmoothing, 
                                         Holt)

df = yf.download('GOOG',
                 start='2010-01-01',
                 end='2018-12-31',
                 progress=False)

print(f'Downloaded {df.shape[0]} rows of data.')

# 월별 주기로 집계

goog = df.resample('M').last().rename(columns = {'Adj Close' : 'adj_close'}).adj_close

train_indices = goog.index.year < 2018
goog_train = goog[train_indices]
goog_test = goog[~train_indices]

test_length = len(goog_test)

goog.plot(title = 'Google Stock Price' )

# SES (Simple Exponential Smoothing) / 단순 지수 평활

ses_1 = SimpleExpSmoothing(goog_train).fit(smoothing_level=0.2)
# test_length = 예측하고자 하는 기간
ses_forecast_1 = ses_1.forecast(test_length)

ses_2 = SimpleExpSmoothing(goog_train).fit(smoothing_level=0.5)
ses_forecast_2 = ses_2.forecast(test_length)

# smoothing level을 지정하는 것이 아닌 최적 적합화(잔차 제곱합의 최소화) 하도록 함
ses_3 = SimpleExpSmoothing(goog_train).fit()
alpha = ses_3.model.params['smoothing_level']
ses_forecast_3 = ses_3.forecast(test_length)

 

 SimpleExponentialSmoothing과 fit 메서드를 사용해 세가지 다른 SES 모델을 적합화 했다.

위 두개의 모델은 smoothing_level을 수동으로 지정하였지만 마지막 하나의 모델은 statmodels이 최적 적합화하도록 했다.

이 때 최적 적합화는 잔차 제곱의 합계 최소화 방식으로 진행된다.

 

goog.plot(color=COLORS[0], 
          title='Simple Exponential Smoothing',
          label='Actual',
          legend=True)

ses_forecast_1.plot(color=COLORS[1], legend=True, 
                    label=r'$\alpha=0.2$')
ses_1.fittedvalues.plot(color=COLORS[1])

ses_forecast_2.plot(color=COLORS[2], legend=True, 
                    label=r'$\alpha=0.5$')
ses_2.fittedvalues.plot(color=COLORS[2])

ses_forecast_3.plot(color=COLORS[3], legend=True, 
                    label=r'$\alpha={0:.4f}$'.format(alpha))
ses_3.fittedvalues.plot(color=COLORS[3])

plt.tight_layout()
plt.show()

 

 fittedvalues 메서드로 적합화된 값을 반환하고 시각화하였다.

시각화 결과, 위에서 언급한 SES 모델의 특성 (예측 결과는 수평선의 형태를 띈다)이 드러난다. 또한 최적의 alpha 값이 1에 가깝다는 사실도 알 수 있다.

 

 

1-2. Holt's Model 

 홀트 모델은 SES의 확장으로 tredn 구성 요소를 모델에 추가해 시계열의 추세를 고려한다.

이 모델은 데이터에 trend는 있지만 seasonality는 없는 경우에만 사용해야 한다.

 

고려대 경영대학 김기훈 교수님, Operations Analytics

 

이 홀트 모델의 한가지 문제점은 미래의 trend를 일정하게 여긴다는 것이고 이는 데이터가 무한대로 증가/감소할 것으로 예측한다는 것이다. 이 때문에 모델을 확장하면 감쇠 매개 변수를 추가해 trend를 완화하고 향후 trend을 일정한 값에 수렴하도록 하여 효과적인 평찬화를 진행한다. 히드만과 아사나소풀로스에 따르면 이 매개변수 값은 0.8에서 0.98 사이일 때 최적이며 이 값이 1일 경우 의도했던 감쇠효과는 없어진다.

 

 동일한 데이터로 구현해보자.

 

# Holt 추세 방법

## 선형 추세 Holt
hs_1 = Holt(goog_train).fit()
hs_forecast_1 = hs_1.forecast(test_length)


## 지수 추세 Holt
hs_2 = Holt(goog_train, exponential = True).fit()
hs_forecast_2 = hs_2.forecast(test_length)

## 지수 추세 Holt + 감쇠
hs_3 = Holt(goog_train, exponential = False, damped = True).fit(damping_slope = 0.99)
hs_forecast_3 = hs_3.forecast(test_length)

 

 기본 설정 모델의 trend는 선형이지만 exponential = True를 통해 지수 trend를, damped = True를 통해 감쇠를 추가할 수 있다.

또한 SES와 마찬가지로 fit 메서드를 통해 최적의 매개 변수의 값을 자동으로 찾는다.

 

goog.plot(color=COLORS[0],
          title="Holt's Smoothing models",
          label='Actual',
          legend=True)

hs_1.fittedvalues.plot(color=COLORS[1])
hs_forecast_1.plot(color=COLORS[1], legend=True, 
                   label='Linear trend')

hs_2.fittedvalues.plot(color=COLORS[2])
hs_forecast_2.plot(color=COLORS[2], legend=True, 
                   label='Exponential trend')

hs_3.fittedvalues.plot(color=COLORS[3])
hs_forecast_3.plot(color=COLORS[3], legend=True, 
                   label='Exponential trend (damped)')

plt.tight_layout()
plt.show()

 

 결과를 보았을 때 SES 모델은 예측값을 수평선으로 반환했지만 홀트 모델은 그렇지 않기에 trend를 조금이나마 더 잘 반영하고 있음을 알 수 있다.

 

1-3. Holt - Winter's Seasonal Smoothing

 

 이는 홀트 모델의 확정법이고 seasonality도 고려할 수 있다.

 

산업수학혁신센터, https://icim.nims.re.kr/post/easyMath/840

 

# Holt-Winter's Seasonal Smoothing

SEASONAL_PERIODS = 12

# 지수 추세

hw_1 = ExponentialSmoothing(goog_train, trend = 'mul', seasonal = 'add', seasonal_periods = SEASONAL_PERIODS).fit()
hw_forecast_1 = hw_1.forecast(test_length)

# 지수 추세 + 댐핑

hw_2 = ExponentialSmoothing(goog_train, trend = 'mul', seasonal = 'add', seasonal_periods = SEASONAL_PERIODS, damped = True).fit()
hw_forecast_2 = hw_2.forecast(test_length)

goog.plot(color=COLORS[0],
          title="Holt-Winter's Seasonal Smoothing",
          label='Actual',
          legend=True)

hw_1.fittedvalues.plot(color=COLORS[1])
hw_forecast_1.plot(color=COLORS[1], legend=True, 
                   label='Seasonal Smoothing')

phi = hw_2.model.params['damping_trend']
plot_label = f'Seasonal Smoothing (damped with $\phi={phi:.4f}$)'

hw_2.fittedvalues.plot(color=COLORS[2])
hw_forecast_2.plot(color=COLORS[2], legend=True, 
                   label=plot_label)

plt.tight_layout()
plt.show()

 

 월 별 데이터를 처리하고 있으므로 SEASONAL_PERIODS=12로 설정하였다.

 

이전의 모델들 보다 더욱 유연하게 예측하고 있다는 것을 알 수 있다.

 

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(해당 게시물 학습을 위한 임의적 설정이므로, 수익을 대변하지 않습니다.)

 

Ref

• 금융 파이썬 쿡북, 에릭 르윈슨.
• https://datalabbit.tistory.com/75
• https://icim.nims.re.kr/post/easyMath/840

[시계열분석] 단순지수평활법(Simple Exponential Smoothing Method)